Disegni a tutta velocità!

Che cosa si fa in classe

Che cos'è una funzione? E una derivata? Una passeggiata o, se si vuole, una corsetta spalancano le porte di un mondo, quello dell'analisi, a volte considerato difficile da capire e arduo da insegnare. Con l'aiuto di un sensore di movimento che raccoglie i dati e di una calcolatrice grafica che li riporta su un diagramma, gli studenti possono sperimentare in prima persona come ad un movimento del proprio corpo corrisponda un'immagine - costruita in tempo reale - che rappresenta il loro moto (distanza in funzione del tempo). L'esperienza vissuta è la base per interpretare la forma del grafico: un modo insolito e diretto per avvicinarsi ai concetti di derivata in un punto (velocità istantanea) e al suo significato geometrico di pendenza della retta tangente.

L'incontro si costruisce attorno ad un approccio grafico al concetto di funzione e di derivata, usando la nozione di pendenza per interpretare, sia a livello locale che a livello globale, la forma di un grafico.
L'uso di un sensore di movimento e di una calcolatrice permettono di avere a disposizione molti dati e di rappresentarli in un piano cartesiano dove sono rappresentate la distanza dal sensore di chi si muove e il tempo.

Obiettivi:

  • rappresentare graficamente un movimento
  • interpretare un grafico in relazione a un movimento
  • individuare caratteristiche di un movimento mediante un grafico
  • prevedere la forma di un grafico a partire da un dato movimento
  • distinguere grafici di varia forma a partire da moti diversi
  • distinguere moti diversi a partire da grafici di varia forma
  • comprendere il significato della pendenza locale come coefficiente angolare della retta che localmente seca una curva
  • comprendere il significato della funzione pendenza in relazione a come varia la distanza nel tempo
  • comprendere le connessioni fra la pendenza di una curva e la velocità di un movimento
  • comprendere le connessioni fra la forma del grafico di una funzione e la sua funzione derivata

Che cos'è la velocità?

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Tutti noi abbiamo esperienza della velocità nella vita quotidiana. Talvolta questa esperienza è più esplicita, altre volte invece è inconscia. Sin da quando impariamo ad andare in bicicletta, sappiamo cosa significa pedalare più o meno forte.

Vi siete mai chiesti perchè se schiacciamo il piede sull'acceleratore mentre guidiamo la macchina questa operazione fa aumentare la sua velocità? E per quale ragione se invece schiacciamo il pedale del freno la macchina non si ferma istantaneamente ma richiede un certo tempo di fermata? Una cosa analoga accade in bicicletta. Per arrivare prima si deve pedalare con più forza, per fermarsi si deve premere sul freno: qual è la conseguenza di queste azioni sull'andatura della bicicletta?

Per quale ragione se voi e un vostro amico partecipate ad una gara, la velocità alla quale correte va ad incidere sul tempo di gara? E che tipo di forza state applicando nel momento in cui aumentate la vostra andatura per superare un altro concorrente? C'è un motivo ben preciso anche nella scelta che i podisti fanno delle loro scarpe da corsa: di cosa sono alla ricerca quando scelgono una scarpa che ammortizzi ottimamente il contatto con il terreno piuttosto che una scarpa più elastica? Cosa vogliono che venga espresso al meglio?
E sapete che cosa cambia nel vostro movimento se correte mantenendo un'andatura costante, ossia mantenendo la stessa velocità per tutta la distanza da percorrere, rispetto a quando invece aumentate o diminuite la velocità? Sapete come questi cambiamenti possono essere rappresentati con un disegno? E come possono incidere sulla forma di questo disegno?

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La linea ferroviaria ad Alta Velocità è più costosa per gli utenti ma riduce i tempi di percorrenza per andare da una località ad un'altra. Qual è la spiegazione di questo fatto?

In Formula 1 il tempo in cui la Ferrari di Massa o di Raikonen compie un giro di pista, sia in gara sia durante le prove, viene misurato utilizzando anche i millesimi di secondo. Vi siete mai domandati perchè? Allo stesso modo, quando lavorate su un filmato con un programma che permetta di manipolare i video vi potete rendere conto che il tempo viene misurato con delle unità di misura piuttosto piccole. Come mai nell'espressione numerica che indica lo stato di avanzamento del filmato compare anche un numero per individuare i fotogrammi?

Avete mai pensato perchè la linea ADSL per la navigazione in Internet funzioni molto meglio degli altri tipi di linee che permettono di allacciarsi alla rete, in particolare della linea telefonica normale, ma non fornisca una connessione ottimale quanto quella fornita dalle fibre ottiche? E cosa significa il simbolo Mbps che compare sullo schermo durante il download di un file? Cosa differenzia, dal punto di vista dell'efficienza, questi diversi tipi di connessione?