Curve, rette, linee con tutto ciò che ne... deriva!

Che cosa si fa in classe

Indaghiamo nelle forme delle curve di funzioni più e meno note attraverso un software di analisi dinamica (Graphic Calculus), alla ricerca e alla scoperta delle relazioni esistenti tra le grandezze che variano. Per comprendere in particolare le relazioni tra una funzione polinomiale e la sua derivata, per vedere in modo intuitivo cosa è alla base del calcolo della derivata di una funzione polinomiale.

Un software grafico-simbolico permette di esplorare il significato di funzione derivata di una funzione polinomiale. A partire da funzioni del tipo y = f(x) = xn, dove n è un numero naturale non nullo (vale a dire: n = 1, 2, 3, …), e associando i casi di n = 1, 2 con il grafico della legge oraria rispettivamente di un moto uniforme e di un moto uniformemente accelerato, diviene possibile ragionare su cosa si nasconda sotto al calcolo della derivata di xn, che come funzione è data da f(x) = nxn-1. I due casi semplici suddetti sono la base per la comprensione di ciò che accade nel caso più generale.

Obiettivi:

  • comprendere il concetto di derivata di xn come nxn-1
  • comprendere il significato algebrico della funzione derivata di una funzione polinomiale
  • comprendere il significato geometrico della funzione derivata di una funzione polinomiale
  • comprendere i legami fra una funzione polinomiale e la sua funzione derivata
  • interpretare il grafico di una funzione derivata in relazione alla funzione polinomiale da cui è stata ottenuta
  • individuare caratteristiche di una funzione polinomiale dal grafico della sua funzione derivata
  • prevedere la forma del grafico della funzione derivata di una funzione polinomiale, a partire dal grafico della funzione polinomiale stessa
  • prevedere la forma del grafico di una funzione polinomiale, a partire dal grafico della sua funzione derivata
  • sviluppare la capacità di fare congetture mediante il supporto di un software grafico-simbolico
  • sviluppare la capacità di testare congetture mediante il supporto di un software grafico-simbolico

Un approccio grafico alla derivata di una funzione polinomiale

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Vi siete mai chiesti per quale ragione l'accelerazione con cui cade una mela da un albero è costante? E perchè la stessa cosa accada per qualsiasi oggetto che venga lasciato libero di cadere in prossimità della superficie della terra?

Chissà se un auto o una moto possono essere guidate in modo tale che il loro movimento abbia accelerazione costante come il frutto che cade! Che cosa ne pensate? È più facile che ciò avvenga in autostrada o in città? Quale effetto questo avrebbe sulla velocità del mezzo?

Quale effetto questo avrebbe sulla velocità del mezzo?

In palestra lavorate con pesi e macchine per raggiungere un indice di massa corporea idoneo alla vostra corporatura. Per calcolare questo indice servono due dati: il vostro peso e la vostra statura. Ma forse non sapete che la relazione che lega il peso e la statura è analoga a quella che rappresenta la caduta della mela dall'albero. Pensiamo un poco di più con gli occhi del matematico: sicuramente vi è ben nota la formula che lega l'area di un quadrato al suo lato. Forse però non sapete che, volendo rappresentare questa relazione con un disegno, potreste usarne uno che, solo con opportuni cambiamenti di etichette, è in grado di spiegare la relazione fra il peso e la statura quando l'indice di massa corporea non cambi.