Copiare è bello!
Che cosa si fa in classe
Proseguiamo il percorso sulle simmetrie andando a scoprire il concetto di gruppo di isometrie che raccoglie le operazioni che caratterizzano ogni oggetto simmetrico. Stai tranquillo: è più semplice di quello che sembra!
La lezione si costruisce con un approccio esplorativo e pratico intorno al concetto di gruppo di simmetria nel piano euclideo, finalizzato all'approfondimento del concetto di trasformazione isometrica e alla conoscenza di applicazioni della matematica. Si introducono i concetti di gruppo, di sottogruppo e di gruppo discreto di isometrie. Si creano fregi e mosaici e oggetti misteriosi come il Nastro di Moebius.
Obiettivi:
- stimolare la capacità di osservazione
- stimolare l'immaginazione e la creatività
- stimolare la capacità di progettazione
- acquisire capacità di astrazione
- comprendere il concetto di "gruppo" di simmetria
- individuare il gruppo di simmetria in un fregio e in un mosaico
- imparare a decodificare fregi e mosaici
- conoscere applicazioni della matematica
- utilizzare la matematica come mezzo per porsi e risolvere problemi
Immaginazione e ripetizione, alla scoperta del ritmo delle forme
Fra i tanti possibili esempi su come utilizzare le trasformazioni geometriche, il tema della
simmetria si presta particolarmente bene alla comunicazione matematica. Risulta infatti
difficile trovare qualcuno che rimanga indifferente, ad esempio, di fronte alla simmetria di
alcune opere d'arte come i mosaici dell'Alhambra.
Lo strumento matematico che "misura" la simmetria è il gruppo di simmetria. Se consideriamo
una figura piana F, il suo gruppo di simmetria contiene tutte le isometrie del piano che la
lasciano invariata. è facile verificare che si tratta di un gruppo. Se un'isometria fissa la
figura F, così fa anche la sua inversa e se due isometrie fissano F, lo fa anche la loro
composizione.
Un teorema degli inizi del secolo classifica i gruppi di isometrie del piano. Essi possono essere:
- gruppi finiti: sono i gruppi ciclici e i gruppi diedrali dei rosoni; questo risultato è stato attribuito a Leonardo da Vinci;
- gruppi che contengono traslazioni in una sola direzione; sono i sette casi diversi dei fregi;
- gruppi che contengono traslazioni in direzioni diverse: sono i diciassette casi diversi dei mosaici (Polya 1924).
è impressionante, e nel contempo affascinante, il fatto che artisti di diverse culture
abbiano trovato esempi per tutti questi diversi casi, molti secoli prima del risultato
matematico, riguardante la loro classificazione.
Nell'architettura e nella decorazione di pavimenti e pareti si trovano esempi di motivi
ripetuti che, se si suppone di ripetere indefinitamente in tutto il piano, riproducono i
gruppi di simmetria presenti nell'arte.
"Discutere" e "riconoscere" sono due operazioni fondamentali di qualsiasi metodologia.
è quindi possibile "giocare" a classificare figure in base al loro tipo di simmetria e ciò costituisce l'occasione per "scoprire " che la matematica è parte integrante della vita quotidiana. Si può" nascondere", ma è sufficiente cercarla e saperla osservare.
Alcuni dei numerosi (frammenti) di fregi che si trovano nella realtà riproducono i sette casi possibili di fregi con le isometrie che fungono da generatori: traslazione, simmetria rispetto a una retta perpendicolare a r (dove r è la direzione della striscia di piano), traslazione orizzontale e simmetria assiale, traslazione e simmetria di scorrimento; due simmetrie assiali, traslazione e simmetria, simmetria centrale. Può essere divertente, ad esempio, analizzare e classificare i fregi della tua città, insieme ai tuoi compagni oppure sfruttare la semplice piegatura della carta. Infatti, tagliando una striscia di carta opportunamente piegata e/o arrotolata, è possibile ottenerli tutti, approfondendo nel contempo anche il significato della simmetria traslazionale.
è invece necessaria un po' di pazienza in più per decodificare i gruppi dei mosaici, poiché i criteri di classificazione dei mosaici riguardano altri caratteri geometrici della simmetria: la presenza di centri e assi di rotazione, l'appartenenza dei centri di rotazione a opportune rette e così via. Alcune civiltà privilegiavano certi gruppi di ricoprimento, utilizzandoli in modo empirico senza sapere che vi era una teoria, una struttura matematica che li comprendeva tutti. A questo proposito sono interessanti i confronti fra alcuni tipi di mosaici (romano, bizantino, arabo, cinese, giapponese, ...). Con l'uso di cartoncino, di carta da lucido e di specchi puoi creare anche tu alcuni mosaici o classificarne altri attraverso l'analisi di alcune riproduzioni artistiche e/o fotografie. Potresti anche vedere se è ancora possibile trovare alcuni dei programmi scritti per ottenere mosaici con il computer. A questo punto può anche essere curiosa la seguente domanda: ma allora tutto è matematica? Come ha detto Gombrich non vi è pericolo che le risorse dell'autore di pattern siano esaurite dai vincoli della geometria. Le "regole" matematiche non pongono limiti alla fantasia e alla capacità creativa dell'artista.