Matematica seducente

Che cosa si fa in classe

Indaghiamo la realtà che ci circonda attraverso un confronto tra la geometria euclidea e la geometria frattale, cercando di dare risposta ad alcune domande. Per esempio: quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? Tanto varrebbe chiedersi qual è il perimetro di una nuvola, o di un albero. Insomma, La risposta è meno semplice di quello che si pensi.  Una montagna infatti non è triangolare, il sole non è un cerchio eccetera: la vera natura di ciò che ci circonda è infatti frattale. Un bel caos, insomma...

Obiettivi:

  • sviluppare curiosità e immaginazion
  • comprendere il significato di "frattale", "oggetto frattale", "insieme frattale"
  • comprendere il significato di "autosomiglianza"
  • comprendere il significato di "dimensione frattale"
  • conoscere le proprietà di un oggetto frattale
  • rappresentare frattali e distinguere tecniche generative di frattali
  • cogliere differenze tra i modelli della geometria euclidea e quelli della geometria frattale
  • individuare oggetti frattali nella realtà

I frattali: geometria della natura

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Che cos'è un frattale? Che cosa studia la geometria frattale?

È stato Benoit Mandelbrot a coniare la parola fractal (in italiano frattale) nel 1975.  Fractal deriva dall'aggettivo latino fractus che significa irregolare o frammentato ed è connesso con il verbo frangere che significa rompere.

"La teoria dei frattali è giovane e nello stesso tempo già centenaria" afferma nel 1982 lo stesso Mandelbrot, considerato il padre della teoria dei frattali. Egli formalizzò le proprietà di queste figure, considerate, prima di lui, degli oggetti eccezionali, "mostri matematici".

Diversi frattali classici sono infatti stati descritti da celebri matematici del passato come Cantor, Hilbert, Peano, von Koch, Sierpinski ma fu solo con The Fractal Geometry of Nature (1982) che essi trovarono posto in una teoria unificata, che ne sottolineava i legami con forme tipiche della natura (coste, alberi, montagne, ...).

Intuitivamente, un frattale è una figura in cui un singolo motivo viene ripetuto su scale decrescenti. Ingrandendo una parte della figura, possiamo individuarvi una copia in scala della figura stessa, come si può vedere osservando, per esempio, il merletto a trina di von Koch.
In generale si considera frattale un insieme che goda di tutte o molte delle seguenti proprietà:

  • autosomiglianza: è l'unione di copie di se stesso a scale differenti;
  • struttura fine: rivela dettagli ad ogni ingrandimento;
  • irregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; la funzione è ricorsiva;
  • dimensione frattale: sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale.
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La dimensione frattale è quindi il numero che misura il grado di irregolarità e di interruzione di un oggetto, considerato in qualsiasi scala. La curva di Koch ha dimensione 1.26 e quindi è più di una linea e meno di una superficie!

Dunque la costa della Sardegna può essere considerata come un esempio di frattale di lunghezza infinita.

Il mito matematico secondo il quale una curva non liscia è "mostruosa" o "patologica" è crollato quando con il computer si sono potute disegnare queste curve. Mandelbrot introduce in questo modo la geometria frattale, che nasce come un nuovo linguaggio di descrizione delle forme complesse della natura. Mentre gli elementi della geometria (linee, cerchi, triangoli, ...) si possono visualizzare facilmente, quelli del nuovo linguaggio richiedono algoritmi, semplici funzioni ricorsive, che iterate un gran numero di volte forniscono un'immagine e quindi il computer si sostituisce alla matita (ma non alla mente del matematico!). Per questo negli anni '80 si è cercato di trovare un frattale in ogni ambito: dalla natura fino alla medicina e alla musica. Si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosidetti frattali biomorfi. Nascono i frattali con condensing, che utilizzano le trasformazioni geometriche del piano, i metodi IFS ed L-System. Il frattale più famoso è sicuramente l' "insieme di Mandelbrot".

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Frattali di questo tipo compaiono nello studio dei sistemi dinamici. Infatti, lo stesso Mandelbrot lo pone al terzo livello di complessità nella sua classificazione gerarchica delle curve piane, lasciando posto nel quarto livello al caos più completo e incontrollabilè invece necessaria un po' di pazienza in più per decodificare i gruppi dei mosaici, poiché i criteri di classificazione dei mosaici riguardano altri caratteri geometrici della simmetria: la presenza di centri e assi di rotazione, l'appartenenza dei centri di rotazione a opportune rette e così via. Alcune civiltà privilegiavano certi gruppi di ricoprimento, utilizzandoli in modo empirico senza sapere che vi era una teoria, una struttura matematica che li comprendeva tutti. A questo proposito sono interessanti i confronti fra alcuni tipi di mosaici (romano, bizantino, arabo, cinese, giapponese, ...). Con l'uso di cartoncino, di  carta da lucido e di specchi puoi creare anche tu alcuni mosaici o classificarne altri attraverso l'analisi di alcune riproduzioni artistiche e/o fotografie. Potresti anche vedere se è ancora possibile trovare alcuni dei  programmi scritti per ottenere mosaici con il computer. A questo punto può anche essere curiosa la seguente domanda: ma allora tutto è matematica? Come ha detto Gombrich nonè pericolo che le risorse dell'autore di pattern siano esaurite dai vincoli della geometria. Le "regole" matematiche non pongono limiti alla fantasia e alla capacità creativa dell'artista.